因而有Φ(x)f(a)=f(x)，當x=b時，Φ(b)=f(b)-f(a),

摺疊格林公式：【定理】設閉地區由分段光滑的曲線圍成,函數及在上具有一階持續偏導數,則有

b∫a*f(x)dx

【定義一】設是一個開地區,函數,在內具有一階持續偏導數,如果對於內肆意兩點,以及內從點到點的肆意兩條曲線,,等式恒建立,就稱曲線積分在內與途徑無關;不然,稱與途徑有關.定義一還可換成以下等價的說法若曲線積分與途徑無關,那麼即:在地區內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在地區內沿肆意閉曲線的曲線積分為零,也可便利地導出在內的曲線積分與途徑無關.

【定義二】曲線積分在內與途徑無關是指,對於內肆意一條閉曲線,恒有

這就是高斯定理。它表示，電場強度對肆意封閉曲麵的通量隻取決於該封閉曲麵內電荷的代數和，與曲麵內電荷的漫衍環境無關，與封閉曲麵外的電荷亦無關。在真空的環境下,Σq是包抄在封閉曲麵內的自在電荷的代數和。

是以

另一方麵,據對座標的曲線積分性子與計演算法有

電場強度e在肆意麪積上的麵積分

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注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表前麵括號及此中內容為上標，求xx階導數

明顯，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt

再假定穿過地區內部且平行於軸的直線與的的鴻溝曲線的交點最多是兩點,用近似的體例可證

注:若地區不滿足以上前提,即穿過地區內部且平行於座標軸的直線與鴻溝曲線的交點超越兩點時,可在地區內引進一條或幾條幫助曲線把它分劃成幾個部分地區,使得每個部分地區合適上述前提,仍可證明格林公式建立.格林公式相同了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡,是以其利用非常地遍及.

摺疊地區的鴻溝曲線的正向規定：設是平麵地區的鴻溝曲線,規定的正向為:當察看者沿的這個方向行走時,平麵地區(也就是上麵的d)內位於他四周的那一部分總在他的左邊。簡言之:地區的鴻溝曲線的正嚮應合適前提:人沿曲線走,地區在左邊，人走的方向就曲直線的正向。