公式(1)叫做格林公式.

Φ(x)=x∫a*f(x)dx

證明:讓函數Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數增量

b∫a*f(x)dx

但Φ(a)=0(積分區間變成[a,a]，故麵積為0)，以是f(a)=c

摺疊地區的鴻溝曲線的正向規定：設是平麵地區的鴻溝曲線,規定的正向為:當察看者沿的這個方向行走時,平麵地區(也就是上麵的d)內位於他四周的那一部分總在他的左邊。簡言之:地區的鴻溝曲線的正嚮應合適前提:人沿曲線走,地區在左邊，人走的方向就曲直線的正向。

而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當Δx趨勢於0也就是ΔΦ趨勢於0時，ξ趨勢於x，f(ξ)趨勢於f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)

是以

電場強度e在肆意麪積上的麵積分

易見,圖二所表示的地區是圖一所表示的地區的一種特彆環境,我們僅對圖一所表示的地區賜與證明便可.

摺疊曲線積分與途徑無關的前提

高斯定理定義：通過肆意閉合曲麵的電通量即是該閉合曲麵所包抄的統統電荷量的代數和與電常數之比。利用學科：電力（一級學科）；通論（二級學科）

此中是的取正向的鴻溝曲線.

牛頓-萊布尼茨公式

可見這也是導數的定義,以是最後得出Φ'(x)=f(x)。

但是這裡x呈現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變量，但定積分中被積函數的自變量取一個定值是冇意義的。為了隻表示積分上限的變動，我們把被積函數的自變量改成彆的字母如t，如許意義就非常清楚了:

另一方麵,據對座標的曲線積分性子與計演算法有

【證明】先證：假定地區的形狀以下(用平行於軸的直線穿過地區,與地區鴻溝曲線的交點最多兩點)

根基簡介：若函數f(x)在[a,b]上持續，且存在原函數f(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且萊布尼茨公式，這即為牛頓-萊布尼茨公式。瞭解:比如路程公式:間隔s=速率v*時候t，即s=v*t，那麼如果t是從時候a開端計算到時候b為止，t=b-a，而如果v不能在這個時候段內保持均速，那麼上麵的這個公式(s=v*t，t=b-a)就不能調和的獲得精確成果，因而引出了定積分的觀點。