證明:讓函數Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數增量

現在我們把積分區間的上限作為一個變量，如許我們就定義了一個新的函數:

【定理】設開地區是一個單連通域,函數,在內具有一階持續偏導數,則在內曲線積分與途徑無關的充分需求前提是等式在內恒建立.證明:先證充分性在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的地區全數在內.從而在上恒建立.由格林公式,有依定義二,在內曲線積分與途徑無關.再證需求性(采取反證法)假定在內等式不恒建立,那麼內起碼存在一點,使無妨設因為在內持續,在內存在一個覺得圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有由格林公式及二重積分性子有這裡是的正向鴻溝曲線,是的麵積.這與內肆意閉曲線上的曲線積分為零的前提相沖突.故在內等式應恒建立.說明:定理所需求的兩個前提缺一不成.【反例】會商,此中是包抄原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這裡撤除原點外,在所圍成的地區內存在,持續,且.在內,作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的複連通域內利用格林公式有

公式利用：那麼如安在用積分獲得上述路程公式呢

高斯定理，靜電場的根基方程之一，它給出了電場強度在肆意封閉曲麵上的麵積分和包抄在封閉曲麵內的總電量之間的乾係。

【定義一】設是一個開地區,函數,在內具有一階持續偏導數,如果對於內肆意兩點,以及內從點到點的肆意兩條曲線,,等式恒建立,就稱曲線積分在內與途徑無關;不然,稱與途徑有關.定義一還可換成以下等價的說法若曲線積分與途徑無關,那麼即:在地區內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在地區內沿肆意閉曲線的曲線積分為零,也可便利地導出在內的曲線積分與途徑無關.

另一方麵,據對座標的曲線積分性子與計演算法有

詳細先容

而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當Δx趨勢於0也就是ΔΦ趨勢於0時，ξ趨勢於x，f(ξ)趨勢於f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)

牛頓-萊布尼茨公式

根基簡介：若函數f(x)在[a,b]上持續，且存在原函數f(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且萊布尼茨公式，這即為牛頓-萊布尼茨公式。瞭解:比如路程公式:間隔s=速率v*時候t，即s=v*t，那麼如果t是從時候a開端計算到時候b為止，t=b-a，而如果v不能在這個時候段內保持均速，那麼上麵的這個公式(s=v*t，t=b-a)就不能調和的獲得精確成果，因而引出了定積分的觀點。